응용수학 및 연습

2차 시험

2007년 5월 9일(수) 3:00 ~ 4:50, 강원대학교 지구물리학과 이훈열 교수

I. 다음 미분 방정식에 거듭제곱급수 해법을 적용하여 풀어라. (5점)

1. [eqn: y prime prime `-`y prime `-`2y`=`0]

II. 다음 급수의 수렴 반지름을 구하라. (5점)

2. [eqn: sum _{m`=`0} ^{INF } ` {(m)!} over {(2m`+`1)(m`+`4)} x ^{m}]

III. Legendre, Bessel 미분방정식 (각15점)

3. 다음 Legendre 방정식을 푸시오.	[eqn: (1-x ^{2} )y prime prime `-`2xy prime `+n(n+1)y`=`0]

4. 다음 Bessel 방정식을 푸시오.	[eqn: x ^{2} y''+xy'+(x ^{2} - nu ^{2} )y=0]

IV. 라플라스 변환 [eqn: LAPLACE LEFT { f(t) RIGHT } =F(s)= int _{0} ^{INF } {e ^{-st} f(t)dt}] 일 때, 다음을 증명하시오. (각5점)

5. Linearity: [eqn: LAPLACE (f+g)= LAPLACE (f)+ LAPLACE (g)]

6. Shift Theorem: [eqn: LAPLACE LEFT { e ^{at} f(t) RIGHT } =F(s-a)]

7. Derivatives: [eqn: LAPLACE (f')=s LAPLACE (f)-f(0)],	[eqn: LAPLACE (f'')=s ^{2} LAPLACE (f)-sf(0)-f'(0)]

8. [eqn: LAPLACE (e ^{at} )= {1} over {s-a}],	[eqn: (s>a)]

9. [eqn: LAPLACE (coshat)= {s} over {s ^{2} -a ^{2}}], [eqn: (s>a GEQ 0)], [eqn: LAPLACE (sinhat)= {a} over {s ^{2} -a ^{2}}], [eqn: (s>a GEQ 0)]

10. [eqn: LAPLACE (cos omega t)= {s} over {s ^{2} + omega ^{2}}], [eqn: LAPLACE (sin omega t)= {omega } over {s ^{2} + omega ^{2}}]

11. [eqn: LAPLACE (t ^{n} )= {n!} over {s ^{n+1}}]

V. 다음 함수의 라플라스 변환을 구하라. (각5점)

12. [eqn: 1`+`2t`+`t ^{2}]	13. [eqn: e ^{-2t} `cos3`t]

VI. 다음 함수의 역라플라스 변환을 구하라. (각5점)

14. [eqn: {s`-`3} over {s ^{2} `-`1}]	15. [eqn: {10} over {(s`-`2)`(s`+`3)}]

VII. 다음의 초기값 문제를 라플라스 변환에 의해 풀어라. (5점)

16. [eqn: y prime prime `-`2y prime -`3y`=`e ^{-t}],	[eqn: y(0)`=`1], [eqn: y prime (0)=`1]

수고했습니다.