응용수학 및 연습

2차 시험

2008년 5월 7일(수) 9:00 ~ 10:50, 강원대학교 지구물리학과 이훈열 교수

I. Legendre, Bessel 미분방정식 (각15점)

1. 다음 Legendre 미분방정식을 푸시오.

[eqn: (1-x ^{2} )y prime prime `-`2xy prime `+n(n+1)y`=`0]

2. 다음 Bessel 미분방정식을 푸시오.

[eqn: x ^{2} y''+xy'+(x ^{2} - nu ^{2} )y=0]

II. 라플라스 변환 [eqn: LAPLACE LEFT { f(t) RIGHT } =F(s)= int _{0} ^{INF } {e ^{-st} f(t)dt}] 일 때, 다음을 증명하시오. (각5점)

3. Linearity: [eqn: LAPLACE (f+g)= LAPLACE (f)+ LAPLACE (g)]

4. Shift Theorem: [eqn: LAPLACE LEFT { e ^{at} f(t) RIGHT } =F(s-a)]

5. Derivatives: [eqn: LAPLACE (f')=s LAPLACE (f)-f(0)],	[eqn: LAPLACE (f'')=s ^{2} LAPLACE (f)-sf(0)-f'(0)]

6. [eqn: LAPLACE (e ^{at} )= {1} over {s-a}],	[eqn: (s>a)]

7. [eqn: LAPLACE (coshat)= {s} over {s ^{2} -a ^{2}}], [eqn: (s>a GEQ 0)], [eqn: LAPLACE (sinhat)= {a} over {s ^{2} -a ^{2}}], [eqn: (s>a GEQ 0)]

8. [eqn: LAPLACE (cos omega t)= {s} over {s ^{2} + omega ^{2}}], [eqn: LAPLACE (sin omega t)= {omega } over {s ^{2} + omega ^{2}}]

9. [eqn: LAPLACE (t ^{n} )= {n!} over {s ^{n+1}}]

III. 다음 함수의 역라플라스 변환을 구하라. (각5점)

10. [eqn: {s`-`4} over {s ^{2} `-`1}]	11. [eqn: {2s`-`7 pi } over {s ^{2} `+`4 pi ^{2}}]	12. [eqn: {9} over {(s`-`2)`(s`+`5)}]

IV. 다음의 초기값 문제를 라플라스 변환에 의해 풀어라. (각5점)

13. [eqn: y prime prime `+`4y prime `+`3y`=`3t`-`8],	[eqn: y(0)`=`1],	[eqn: y prime (0)=`1]

14. [eqn: y prime prime `+`2y prime `-`3y`=``e ^{-2t}],	[eqn: y(0)`=`1],	[eqn: y prime (0)=`1]

15. [eqn: y prime prime `-`6y prime `+`5y`=`10`cos`2t],	[eqn: y(0)`=`1],	[eqn: y prime (0)=`1]

V. 기타

16. 이 수업에 대해 느낀 점 및 개선점을 쓰시오. (5점)

수고했습니다.