응용수학 및 연습 1차 시험

강원대 지구물리학과 이훈열 교수

2010년 4월 7일(수) 9:00 ~ 10:50 am

※주의: 검증 없이 답이 틀리면 부분점수 없음. 문항 당 10점.

다음 미분방정식을 푸시오.

[eqn: y prime +x ^{2} y ^{2} =0]

[eqn: (x ^{3} +2xy ^{2} )`dx`+(2`x ^{2} y`+y ^{3} )dy`=`0]

[eqn: y prime +2y=e ^{-3x}]

[eqn: y '' +y prime -6y=0],   [eqn: y(0)=3],   [eqn: y prime (0)=-4]

[eqn: x ^{2} y '' +2xy prime -12y=0],   [eqn: y(1)=5],   [eqn: y prime (1)=1]

[eqn: y ^{'' } `+`4y`=`-5sin`3x+10cos3x]

[eqn: y ^{'' prime } `-3`y ^{'' } `+`3y ^{prime } `-y`=`18e ^{x}], [eqn: y(0)`=`-1], [eqn: y prime (0)`=`0], [eqn: y '' (0)`=`5]

[eqn: x ^{3} y '' prime -`4x ^{2} y '' `+`8xy prime `-8y`=0], [eqn: y(1)`=6], [eqn: y prime (1)`=`15], [eqn: y '' (1)`=30]

[eqn: y '' prime -2y '' -y prime `+`2y`=0] 을 풀고 해가 1차독립임을 증명하라.

저항 [eqn: R][옴]을 갖는 저항기, 인덕턴스 [eqn: L][헨리]를 갖는 유도기, 커패시턴스 [eqn: C][패럿]을 갖는 축전기가 시간 [eqn: x]에 따라 변하는 기전력 [eqn: E(x)=E _{0} `e ^{iwx}][볼트]에 연결되어 있는 RLC-회로에서, 시간에 따른 전류 [eqn: I(x)]를 다음 미분방정식을 통해 구하시오.

[eqn: LI`` '' +RI`` prime + {1} over {C} I=E`` prime (x)=iE _{0} we ^{iwx}]

단, 특수해는 [eqn: i ^{2} =-1], [eqn: wL- {1} over {wC} =S] (reactance), [eqn: R+iS=Z] (complex impedance),  [eqn: sqrt {R ^{2} +S ^{2}} = LEFT | Z RIGHT |] (impedance)로 치환하여 정리하면 [eqn: I _{p} (x)= {E _{0}} over {Z} e ^{iwx}]가 됨을 증명하시오.

수고했습니다.