응용수학 및 연습 I  1차 시험

강원대학교 지구물리학과 이훈열 교수

2013년 3월 25일(월) 1:00 ~ 2:50 pm

(배점: 1~8번 10점씩, 9번 20점)

다음 미분방정식을 푸시오.

[eqn: y prime -2y=e ^{3x}]

[eqn: y prime +x ^{3} y ^{2} =0]

[eqn: y '' -5y prime +6y=0],   [eqn: y(0)=0],   [eqn: y prime (0)=1]

[eqn: x ^{2} y '' -8xy prime +8y=0],   [eqn: y(1)=3],   [eqn: y prime (1)=17]

[eqn: y ^{'' } `+`9y`=`-5sin`2x+15cos2x]

[eqn: y '' -6y prime +`8y`=`-2e ^{2x} +cosx-sinx], [eqn: y(0)=4], [eqn: y prime (0)=10]

[eqn: y '' prime `-`y '' +9y prime `-9y`=39e ^{2x}], [eqn: y(0)=3], [eqn: y prime (0)=11], [eqn: y '' (0)=25]

[eqn: x ^{3} y '' prime +x ^{2} y '' `-2xy prime +2y`=0], [eqn: y(1)`=4], [eqn: y prime (1)`=`1], [eqn: y '' (1)`=6]

저항 [eqn: R] [Ohm]을 갖는 저항기, 유도계수 [eqn: L] [Henry]를 갖는 유도기, 전기용량 [eqn: C] [Farad]를 갖는 축전기가 시간 [eqn: t]에 따라 변하는 기전력 [eqn: E(t)=E _{0} `e ^{iwt}][Volt]에 직렬로 연결되어 있는 RLC-회로에서, 시간에 따른 전류 [eqn: I(t)]의 일반해와 특수해를 다음 미분방정식을 통하여 구하시오.

[eqn: LI`` '' +RI`` prime + {1} over {C} I=E`` prime (t)=iE _{0} we ^{iwt}]

단, 특수해는 [eqn: i ^{2} =-1], [eqn: wL- {1} over {wC} =S] (reactance), [eqn: R+iS=Z] (complex impedance),  [eqn: sqrt {R ^{2} +S ^{2}} = LEFT | Z RIGHT |] (impedance)로 치환하여 정리하면 [eqn: I _{p} (t)= {E _{0}} over {Z} e ^{iwt}]가 됨을 증명하시오.

수고했습니다.