응용수학 및 연습, 강원대 지구물리학과 이훈열 교수

숙제 7

기한: 2016년 6월 1일(수) 오후 2시, 제출: 자대3호관 414호 진효림 조교

※ 행렬의 고유값, 고유벡터

다음 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하라.

1. [eqn: {bmatrix{``-14&``10#``-10&`````11``}}]	2. [eqn: {bmatrix{``10&`-4#``18&```-12``}}]

3. [eqn: {bmatrix{```cos theta &```````-sin theta ```#```sin theta &````````cos theta ``}}]	4. [eqn: {bmatrix{````-6&```11&``3#``````4&``1&``3#```-4&```10&`````8```}}]

※ 주방향과 탄성변형

다음 행렬 A가 주어졌을 때, y=Ax으로 표현되는 변형에서, 팽창 및 수축 인자(고유값)     와 주방향(고유벡터)을 구하라.

5. [eqn: {bmatrix{```0.4&`0.8#```0.8&````0.4```}}]	6. [eqn: {bmatrix{`10.5&``` {1} over {sqrt {2}} ``#``` {1} over {sqrt {2}}&````10.0```}}]

※ 행렬의 대각화

다음 행렬을 대각화하라.

7. [eqn: {bmatrix{```````3&````2#``-5&```-4```}}]	8. [eqn: {bmatrix{```5&```1``#```1&```5``}}]

※ 성분과 크기, 벡터합, 스칼라곱, 내적, 외적, 스칼라 삼중적

시작점 [eqn: P]와 끝점 [eqn: Q]로 주어진 벡터 [eqn: vec {v }]의 성분과 길이 [eqn: LEFT | vec{v} RIGHT |]를 구하고, [eqn: vec {v }]를 그려라.

9. [eqn: P:`(3,`2,`0),`Q:`(5,`-2,`0)]	10. [eqn: P:`(0,`0,`0),`Q:`(a,`b,`c)]

벡터 [eqn: vec a]=(3, -2, 1), [eqn: vec b]=(0, 3, 0), [eqn: vec c]=(4, 1, -1)에 대하여 다음을 구하라.

11. [eqn: (1/ LEFT | vec{a} |) vec{a} RIGHT . ,`(1/| vec{c} |) vec{c}]	12. [eqn: LEFT | vec{a} + vec{b} RIGHT |], [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | + LEFT | vec{b} RIGHT |]

벡터 [eqn: vec{a} `=(2,`1,`4)`], [eqn: vec{b} `=(-4,`0,`3)], [eqn: vec{c} `=(3,`-2,`1)]일 때 다음을 구하라.

13. [eqn: a BULLET b],  [eqn: a BULLET (b+c)],  [eqn: (a BULLET b)c]	14. [eqn: a BULLET b``+``b BULLET c``+`c BULLET a],  [eqn: LEFT | a BULLET c RIGHT |]

15. 벡터 [eqn: vec{a} `=(1,`2,`0)], [eqn: vec{b} `=(3,`-4,`0)], [eqn: vec{c} `=(3,`5,`2)]일 때 [eqn: a BULLET (b TIMES c)]와 [eqn: a TIMES c``+``b TIMES c] 를 구   하라.

16. (1, 4, 0)을 통과하는 직선상에서 P=(4, 2, 0)이 작용하고 있을 때, 점 P: (5, 1, 0)를  작용점으로 한 모멘트 벡터 m을 구하라.

※ 벡터의 미분

17. 주어진 곡선 [eqn: r(t)]에 대하여 접선벡터 [eqn: r prime (t)], 단위접선벡터 [eqn: u(t)], 주어진 [eqn: p]점에서의 접선을 구하라.  [eqn: r(t)`=(t,`t ^{2} ,`0)], [eqn: p`=(2,`4,`0)]

18. 다음곡선 [eqn: r(t)`=(2`cos`t,``2`sin`t,``6t)], [eqn: (2,`0,`0)]에서 [eqn: (2,`0,`24 pi )]까지의 길이를 구하라.

※ 스칼라장의 방향도함수(gradient)

흐름에 대한 속도 포텐셜 [eqn: f]가 주어진 경우, 흐름의 속도 [eqn: vec{v} `= NABLA f] 를 구하고, [eqn: p]점에서의 값을 구하라.

19. [eqn: f`=x ^{2} +4y ^{2} +9z ^{2} `,```p:`(3,`2,`1)]

20. [eqn: f`=ln(x ^{2} +y ^{2} )`,`````p:(4,`3)]

※ 벡터장의 발산(divergence)

다음과 같은 벡터함수에 대한 발산 [eqn: vec del bullet vec v]을 구하라.

21. [eqn: (`x ^{3} +y ^{3} ,````3xy ^{2} ,````3zy ^{2} )]

22. [eqn: (`e ^{2x} `cos2y,`````e ^{2x} sin2y,`````5e ^{2z} `)]

※ 벡터장의 회전(curl): 다음 벡터장의 회전량 [eqn: vec del times vec v]를 구하라.

23. [eqn: (x ^{2} `+`y ^{2} `+z ^{2} ) ^{-3/2} (x,`y,`z)]

24. [eqn: (`y,```2x ^{2} ,``0`)]