응용수학 및 연습 II  1차 시험

2011년 9월 30일(금) 오후 7~9시

강원대학교 지구물리학과 이훈열 교수

<기초 자료>

푸리에 급수 ([eqn: 2L] 주기): [eqn: f(x)=a _{0} + sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} `cos {n pi } over {L} x+b _{n} `sin {n pi } over {L} x)# ``````a _{0} = {1} over {2L} int _{-L} ^{L} {f(x)dx}# ``````a _{n} = {1} over {L} int _{-L} ^{L} {f(x)cos {n pi x} over {L} dx}# ``````b _{n} = {1} over {L} int _{-L} ^{L} {f(x)sin {n pi x} over {L} dx} `]	푸리에 적분: [eqn: f(x)= int _{0} ^{INF } {[A( omega )cos omega x+B( omega )sin omega x]dw}# ``````A( omega )= {1} over {pi } int _{- INF } ^{INF } {f(v)cos omega vdv}# ``````B( omega )= {1} over {pi } int _{- INF } ^{INF } {f(v)sin omega vdv}]
푸리에 변환: [eqn: hat{f} ( omega )= {1} over {sqrt {2 pi }} int _{- INF } ^{INF } {f(x)e ^{-iwx} dx}# f(x)= {1} over {sqrt {2 pi }} int _{- INF } ^{INF } {hat{f} ( omega )e ^{iwx} dw}]	합성곱: [eqn: (f AST g)(x)= int _{- INF } ^{INF } {f(p)g(x-p)dp}# `````````````````````````````````````= int _{- INF } ^{INF } {f(x-p)g(p)dp}]
삼각함수 공식: [eqn: cosA`cosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2] [eqn: sinA`sinB=[cos(A-B)-cos(A+B)]/2] [eqn: sinA`cosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2]	적분공식: [eqn: int _{} ^{} {e ^{ax} `cosnx= {e ^{ax}} over {a ^{2} +n ^{2}} (a`cosnx+n`sin`nx)}][eqn: int _{} ^{} {e ^{ax} `sinnx= {e ^{ax}} over {a ^{2} +n ^{2}} (a`sinnx-n`cos`nx)}]

1. 다음 적분을 구하여 삼각함수의 직교성을 증명하시오.

[eqn: int _{-pi } ^{pi } {cosnx`cosmx`dx`=}]

[eqn: int _{- pi } ^{pi } {sinnx`sinmx`dx`=}]

[eqn: int _{- pi } ^{pi } {sinnx`cosmx`dx`=}]

2. 함수의 푸리에 급수, 푸리에 적분 및 푸리에 변환에 대하여, 그 함수가 우함수 및 기함수일 경우에 대하여 간략화 하시오.

3. 다음 함수의 그래프를 그리고 푸리에 급수를 구하라.

[eqn: f(x)= LEFT { eqalign{-k```(- pi <x<0)# # `k``````````(0<x< pi )} RIGHT .]   ,	[eqn: f(x+2 pi )=f(x)]

4. 다음 함수의 그래프를 그리고 푸리에 급수를 구하라.

[eqn: f(x)= LEFT { eqalign{0`````(-2<x<`-1)# k`````(-1<x<1)# `0`````(1<x<2)} RIGHT .]	,	[eqn: f(x+4)=f(x)]

5. 다음 함수의 그래프를 그리고 푸리에 적분으로 표현하라.

[eqn: f(x)= LEFT { eqalign{k`````( LEFT | x RIGHT | <1)# 0`````( LEFT | x RIGHT | >1)} RIGHT .]

6. 다음 함수의 우함수 및 기함수 전개를 그래프로 그리고, 푸리에 적분으로 표현하시오.

[eqn: f(x)=e ^{-kx}],   [eqn: x>0,```k>0]

7. 다음 함수를 푸리에 변환하고 그래프를 그리시오.

[eqn: f(x)= LEFT { eqalign{k`````( LEFT | x RIGHT | <1)# 0`````( LEFT | x RIGHT | >1)} RIGHT .]

8. 다음 함수를 푸리에 변환하고 그래프를 그리시오.

[eqn: f(x)= LEFT { eqalign{e ^{-ax} `````(x>0)# 0```````````````(x<0)} RIGHT .]

9. 함수 [eqn: f(x)]가 연속이고, [eqn: LEFT | x RIGHT | -> INF]일 때 [eqn: f(x) -> 0]이고, [eqn: f'(x)] 및 [eqn: f' prime (x)]가 절대적분가능할 때, 다음을 증명하시오.

[eqn: F(f prime )=iwF(f)]

[eqn: F(f' prime )=-w ^{2} F(f)]

여기서 F는 푸리에 변환을 뜻함.

10. 다음 합성곱의 푸리에 변환에 대해 증명하시오.

[eqn: F(f AST g)= sqrt {2 pi } hat{f} hat{g}]

[eqn: (f AST g)(x)= sqrt {2 pi } F ^{-1} ( hat{f} hat{g} )]

여기서 [eqn: hat{f} =F(f),` hat{```g} =F(g)]이고, [eqn: F ^{-1}]은 푸리에 역변환을 뜻함.

수고했습니다.