응용수학 및 연습 II  2차 시험

2011년 11월 4일(금) 오전 10:00~11:50

강원대학교 지구물리학과 이훈열 교수

<기초 자료>

푸리에 사인급수(주기 2L 기함수): [eqn: f(x)= sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `sin {n pi } over {L} x# ``````b _{n} = {2} over {L} int _{0} ^{L} {f(x)sin {n pi x} over {L} dx} `]	푸리에 코사인급수(주기 2L 우함수): [eqn: f(x)=a _{0} + sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `cos {n pi } over {L} x# ``````a _{0} = {1} over {L} int _{0} ^{L} {f(x)dx,`} ``a _{n} = {2} over {L} int _{0} ^{L} {f(x)cos {n pi x} over {L} dx}]
삼각함수 공식: [eqn: sinA`sinB=[cos(A-B)-cos(A+B)]/2]

1. 진동현의 1차원 파동방정식이 아래와 같음을 유도하시오. (10점)

[eqn: {Partial ^{2} u} over {Partial t ^{2}} =c ^{2} {Partial ^{2} u} over {Partial x ^{2}}]

[eqn: c ^{2} =T/ rho], [eqn: T]:현의 장력, [eqn: rho]:현의 밀도

2. 다음 조건을 만족하는 길이 L인 현의 변위 [eqn: u(x,`t)]를 푸리에 급수로 구하시오. (20점)

경계조건: [eqn: u(0,`t)=u(L,`t)=0]

초기변위: [eqn: u(x,`0)=f(x)= {cases{{2k} over {L} x``&(0<x< {L} over {2} )#{2k} over {L} (L-x)``````&( {L} over {2} <x<L)}}]

초기속도: [eqn: u _{t} (x,`0)=0]

3. 다음 조건을 만족하는 길이 L인 막대의 온도 [eqn: u(x,`t)]를 푸리에 급수로 구하시오. (20점)

1차원 열전도방정식: [eqn: {Partial u} over {Partial t} =c ^{2} {Partial ^{2} u} over {Partial x ^{2}}], [eqn: c]는 열확산계수

경계조건: [eqn: u(0,`t)=u(L,`t)=0]

초기온도: [eqn: u(x,`0)=f(x)= {cases{x``&(0<x< {L} over {2} )#L-x``````&( {L} over {2} <x<L)}}]

4. 다음 조건을 만족하는 길이 L인 막대의 온도 [eqn: u(x,`t)]를 푸리에 급수로 구하시오. (20점)

경계조건: [eqn: u _{x} (0,`t)=u _{x} (L,`t)=0]  (양 끝이 단열되어 있음)

초기온도: [eqn: u(x,`0)=f(x)= {cases{x``&(0<x< {L} over {2} )#L-x``````&( {L} over {2} <x<L)}}]

5. 두 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b]인 직사각형 박막의 2차원 변위 [eqn: u(x,`y,`t)]를 이중 푸리에 급수로 구하시오. (20점)

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: x]

[eqn: y]

경계조건: 모든 경계에서 [eqn: u=0]

초기변위: [eqn: u(x,`y,`0)=f(x,`y)=1]

초기속도: [eqn: u _{t} (x,`y,`0)=0]

6. 경계부가 고정되어 있는 반지름 R 인 원형박막의 변위 [eqn: u(r,`t)]를 구하시오. (10점)

2차원 파동방정식: [eqn: {Partial ^{2} u} over {Partial t ^{2}} =c ^{2} LEFT ( {Partial ^{2} u} over {Partial r ^{2}} + {1} over {r} {Partial u} over {Partial r} RIGHT )]

경계조건: [eqn: u(R,`t)=0]

수고했습니다.