응용수학2 숙제10

기한: 2012년 11월 29일(목요일) 18:00, 장소: 3호관 414호 김범준 조교

[1~3] 다음 식들에 의해 주어진 경로와 방향을 찾고 스케치하라.

[eqn: z(t)`=`(1+3i)t`````````(1 LEQ t LEQ 4)]

[eqn: z(t)`=`5-2it`````````(-3 LEQ t LEQ 3)]

[eqn: z(t)`=`1+i+e ^{- pi it} `````````(0 LEQ t LEQ 2)]

[4~5] 첫 번째 적분 방법(부정적분과 상, 하한의 대체)을 사용하여 계산하라. 적용할 수가 없다면 이유를 설명하고, 두 번째 적분 방법(경로에 대한 표현식의 사용)을 사용하여 계산하라.

4. [eqn: int _{C} ^{} {e ^{2z} `dz,```C`}]는 [eqn: pi i]에서 [eqn: 2i]까지의 최단경로

5. [eqn: int _{C} ^{} {sin`z``dz,```C}]는 [eqn: 0]에서 [eqn: 2i]까지의 임의의 경로

[6~10] 윤곽선 적분–상세한 계산과정을 보이고, 필요하다면 부분분수를 사용하여 계산하라.

6. [eqn: oint _{C} ^{} {{dz} over {2z-i}} ,```C]는 원 [eqn: LEFT | z RIGHT | =3] (반시계 방향)

7. [eqn: oint _{C} ^{} {{7z-6} over {z ^{2} -2z}} `dz,```C]는 다음과 같이 그려진다.

8. [eqn: oint _{C} ^{} {{dz} over {z ^{2} -1}} ,```C]는 다음과 같이 그려진다.

9. [eqn: oint _{C} ^{} {{dz} over {z ^{2} +1}} ,```C:```(a)`` LEFT | z RIGHT | = {1} over {2} ,```(b)`` LEFT | z-i RIGHT | = {3} over {2}] (반시계 방향)

10. [eqn: oint _{C} ^{} {{dz} over {z ^{2} +1} ,```C:```(a)`` LEFT | z+i RIGHT |} =1,```(b)`` LEFT | z-i RIGHT | =1] (반시계 방향)

[11~12] 다음의 원 주위를 반시계방향으로 [eqn: (z ^{2} -4)/(z ^{2} +4)]을 적분하라.

11. [eqn: LEFT | z-i RIGHT | =2]

12. [eqn: LEFT | z-1 RIGHT | =2]

[13~17] Cauchy의 적분공식을 사용하여 반시계방향으로 적분하라.

13. [eqn: oint _{C} ^{} {{z+2} over {z-2} `dz,```C:`` LEFT | z-1 RIGHT | =2}]

14. [eqn: oint _{C} ^{} {{e ^{3z}} over {3z-i}} `dz,```C:`` LEFT | z RIGHT | =1]

15. [eqn: oint _{C} ^{} {{dz} over {z ^{2} -1}} ,```C:`` LEFT | z-1 RIGHT | = pi /2]

16. [eqn: oint _{C} ^{} {{dz} over {z ^{2} -1} ,```C:`` LEFT | z+1 RIGHT |} =1]

17. [eqn: oint _{C} ^{} {{e ^{z}} over {z-2i}} `dz,```C:`` LEFT | z-2i RIGHT | =4]

[18~21] 원 [eqn: LEFT | z RIGHT | =2]의 주위로 반시계방향으로 적분하라([eqn: n]은 양의 정수이고, [eqn: a]는 임의의 수이다). 계산과정을 상세히 보여라.

18. [eqn: {cosh`3z} over {z ^{5}}]    19. [eqn: {sin`z} over {(z- pi i/2) ^{4}}]

20. [eqn: {e ^{z} `cos`z} over {(z- pi /2) ^{2}} ``] 21. [eqn: {z ^{n}} over {(z-a) ^{n+1}}]

[22~23] [eqn: C]를 따라 적분하시오. 계산과정을 상세히 보여라.

22. [eqn: {(1+2z)`cos`z} over {(2z-1) ^{2}} ,] 단위원 [eqn: C], 반시계 방향

23. [eqn: {e ^{z/2}} over {(z-a) ^{4}} ,```C]는 원 [eqn: LEFT | z-2-i RIGHT | =3,] 반시계 방향